【資料圖】

e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù),其值是2.71828……,是這樣定義的：

當(dāng)n->∞時(shí),(1 1/n)^n的極限.

注：x^y表示x的y次方.

隨著n的增大,底數(shù)越來越接近1,而指數(shù)趨向無窮大,那結(jié)果到底是趨向于1還是無窮大呢?其實(shí),是趨向于2.71828……,不信你用計(jì)算器計(jì)算一下,分別取n=1,10,100,1000.但是由于一般計(jì)算器只能顯示10位左右的數(shù)字,所以再多就看不出來了.

e在科學(xué)技術(shù)中用得非常多,一般不使用以10為底數(shù)的對(duì)數(shù).以e為底數(shù),許多式子都能得到簡化,用它是最“自然”的,所以叫“自然對(duì)數(shù)”.

這里的e是一個(gè)數(shù)的代表符號(hào),而我們要說的,便是e的故事.這倒叫人有點(diǎn)好奇了,要能說成一本書,這個(gè)數(shù)應(yīng)該大有來頭才是,至少應(yīng)該很有名吧?但是搜索枯腸,大部分人能想到的重要數(shù)字,除了眾人皆知的0及1外,大概就只有和圓有關(guān)的π了,了不起再加上虛數(shù)單位的i=√-1.這個(gè)e究竟是何方神圣呢?

在高中數(shù)學(xué)里,大家都學(xué)到過對(duì)數(shù)（logarithm）的觀念,也用過對(duì)數(shù)表.教科書里的對(duì)數(shù)表,是以10為底的,叫做常用對(duì)數(shù)（common logarithm）.課本里還簡略提到,有一種以無理數(shù)e=2.71828……為底數(shù)的對(duì)數(shù),稱為自然對(duì)數(shù)（natural logarithm）,這個(gè)e,正是我們故事的主角.不知這樣子說,是否引起你更大的疑惑呢?在十進(jìn)位制系統(tǒng)里,用這樣奇怪的數(shù)為底,難道會(huì)比以10為底更「自然」嗎?更令人好奇的是,長得這么奇怪的數(shù),會(huì)有什么故事可說呢?

這就要從古早時(shí)候說起了.至少在微積分發(fā)明之前半個(gè)世紀(jì),就有人提到這個(gè)數(shù),所以雖然它在微積分里常常出現(xiàn),卻不是隨著微積分誕生的.那么是在怎樣的狀況下導(dǎo)致它出現(xiàn)的呢?一個(gè)很可能的解釋是,這個(gè)數(shù)和計(jì)算利息有關(guān).

我們都知道復(fù)利計(jì)息是怎么回事,就是利息也可以并進(jìn)本金再生利息.但是本利和的多寡,要看計(jì)息周期而定,以一年來說,可以一年只計(jì)息一次,也可以每半年計(jì)息一次,或者一季一次,一月一次,甚至一天一次；當(dāng)然計(jì)息周期愈短,本利和就會(huì)愈高.有人因此而好奇,如果計(jì)息周期無限制地縮短,比如說每分鐘計(jì)息一次,甚至每秒,或者每一瞬間（理論上來說）,會(huì)發(fā)生什么狀況?本利和會(huì)無限制地加大嗎?答案是不會(huì),它的值會(huì)穩(wěn)定下來,趨近於一極限值,而e這個(gè)數(shù)就現(xiàn)身在該極限值當(dāng)中（當(dāng)然那時(shí)候還沒給這個(gè)數(shù)取名字叫e）.所以用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言來說,e可以定義成一個(gè)極限值,但是在那時(shí)候,根本還沒有極限的觀念,因此e的值應(yīng)該是觀察出來的,而不是用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明得到的.