摘要：基于廣義相對(duì)論構(gòu)建了一種理論模型，用于解釋嘉然的年齡看起來遠(yuǎn)小于其他幾位A-SOUL成員的觀測事實(shí)。我們根據(jù)嘉然擁有操控引力的超能力的事實(shí)，合理假設(shè)A-SOUL成員們所生活的枝江其實(shí)是一個(gè)由嘉然創(chuàng)造出來的大質(zhì)量黑洞。通過考慮黑洞視界外部引力場中的鐘慢效應(yīng)，我們導(dǎo)出了嘉然的固有年齡與其身高的數(shù)學(xué)關(guān)系。結(jié)果表明，如果嘉然的身高足夠矮，那么她的固有年齡將會(huì)遠(yuǎn)小于A-SOUL的其他幾位成員。

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一、引言

嘉然?[1]?是虛擬偶像團(tuán)體A-SOUL?[2]?的成員之一，又名Diana，bilibili ID為“嘉然今天吃什么”。嘉然曾獲bilibili 2021百大UP主、2021年度虛擬UP主，截至2022年3月7日擁有1.63萬艦長?[3]?，是目前整個(gè)可觀測宇宙中艦長數(shù)量最多的UP主。

官方設(shè)定顯示?[4]?，A-SOUL五人組的年齡相差不大，官方年齡都在20歲左右。但長期以來的觀測卻顯示，嘉然實(shí)際表現(xiàn)出的年齡要遠(yuǎn)小于其他四人，她看上去可能最多也只有15歲。也就是說，嘉然的官方年齡與實(shí)際觀測到的年齡之間存在巨大的差異，這常被稱為?Diana Age Tension，或者嘉然年齡之謎。對(duì)于這一矛盾，A-SOUL官方以及嘉然本人并沒有給出合理的答復(fù)。

雖然嘉然本人曾在一次直播中聲稱自己的真實(shí)年齡只有三歲，且這個(gè)三歲與官方年齡的設(shè)定并不矛盾?[5]?，但這顯然不是對(duì)年齡之謎的合理解答。一來，三歲這個(gè)數(shù)值太小，遠(yuǎn)小于實(shí)際觀測到的年齡。二來，即使嘉然擁有一個(gè)比官方年齡小一些的實(shí)際年齡，她也沒有解釋為什么會(huì)小一些。因此，在本項(xiàng)研究發(fā)表之前，嘉然的年齡之謎沒有任何一種合理的解決方案。

本文將第一次給出嘉然年齡之謎的潛在的解決方案。我們從廣義相對(duì)論出發(fā)，考慮嘉然的年齡受到引力場中鐘慢效應(yīng)的影響，并以此構(gòu)建模型推導(dǎo)出了嘉然年齡的表達(dá)式。本文接下來的內(nèi)容安排如下：第二節(jié)討論廣義相對(duì)論相關(guān)的理論基礎(chǔ)；第三節(jié)構(gòu)建了一個(gè)嘉然-枝江黑洞的toy model，給出了固定身高條件下的嘉然年齡的表達(dá)式；第四節(jié)構(gòu)建了更加普遍的時(shí)變身高的理論模型，給出了嘉然年齡的實(shí)際觀測值對(duì)嘉然身高增長速率的限制。最后一節(jié)我們做出一些討論并對(duì)研究的結(jié)論進(jìn)行總結(jié)。

二、理論基礎(chǔ)

在廣義相對(duì)論中，物質(zhì)之間的萬有引力被描述為時(shí)空彎曲所展現(xiàn)出的一種幾何效應(yīng)。而所謂的幾何效應(yīng)，其實(shí)就是時(shí)間空間度量方式（時(shí)空度規(guī)）的改變。其中，空間度量方式的改變體現(xiàn)為粒子在引力場中的運(yùn)動(dòng)不再走直線。而時(shí)間度量方式的改變就體現(xiàn)為引力場中時(shí)間流逝速度的改變。本節(jié)介紹廣義相對(duì)論中的一些有用的結(jié)論，這些內(nèi)容可以在許多廣義相對(duì)論的教科書中被找到，例如?[6] [7] [8]?.

2.1 史瓦西度規(guī)與黑洞

一個(gè)靜態(tài)球?qū)ΨQ天體外部的時(shí)空幾何被史瓦西（Schwarzschild）度規(guī)所描述：其中c為光速，G為引力常數(shù)，M為天體質(zhì)量，r為到天體中心的坐標(biāo)距離。史瓦西度規(guī)的時(shí)空彎曲程度可以由曲率張量的縮并描述?[9]?：可以看到，對(duì)于給定的質(zhì)量為M的天體，離它的中心越近，時(shí)空彎曲的程度越大，或者說引力越大。而如果天體是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，那么當(dāng)??時(shí)就會(huì)出現(xiàn)時(shí)空曲率無窮大的情況。這種情況被稱為時(shí)空奇點(diǎn)。

由史瓦西度規(guī)還可以看到，當(dāng)??且天體的半徑小于這個(gè)r值時(shí)，度規(guī)的11分量，即??前的系數(shù)就會(huì)無窮大。這意味著??對(duì)應(yīng)的那個(gè)球面是一個(gè)事件視界，球面內(nèi)部的時(shí)空彎曲程度如此劇烈，以至于連光（或光速運(yùn)動(dòng)的粒子）都無法克服引力從視界內(nèi)逃逸至視界外。我們把這種存在事件視界的天體稱為黑洞，而??被稱為黑洞的視界半徑，或史瓦西半徑。

2.2 引力場中的鐘慢效應(yīng)

彎曲時(shí)空（有引力場）和平直時(shí)空（沒有引力場）相比，一個(gè)顯著的可觀測效應(yīng)就是引力場中時(shí)間的流逝速度會(huì)發(fā)生改變。我們把處于引力場中的物體實(shí)際經(jīng)歷的時(shí)間定義為固有時(shí)間??，而無引力場時(shí)的時(shí)間則為坐標(biāo)時(shí)間??，二者的關(guān)系為：其中??為時(shí)空度規(guī)的00分量。對(duì)于前面所說的史瓦西度規(guī)，可以讀出：所以處于靜態(tài)球?qū)ΨQ天體外部某處的物體的固有時(shí)間為：可以看到，天體的質(zhì)量越大，離天體越近，時(shí)間流逝越慢。這就是引力場中的鐘慢效應(yīng)。（這里推薦觀看電影《星際穿越》，更直觀地理解鐘慢效應(yīng)）

三、嘉然-枝江黑洞模型

在構(gòu)建具體的理論模型之前，讓我們注意到一個(gè)基本的事實(shí)——嘉然擁有操控引力的超能力。這一結(jié)論不久之前由枝江大學(xué)物理系的一項(xiàng)研究得到?[10]。不過在他們的研究中只考慮了牛頓引力，并沒有考慮廣義相對(duì)論的效應(yīng)。本節(jié)我們只構(gòu)建一個(gè)toy model，用于表達(dá)清楚其中的物理思想。更普遍的模型我們放在下一節(jié)引入。

3.1 模型假設(shè)

我們的toy model包含三個(gè)基本假設(shè)：（1）A-SOUL的成員們所在的虛擬城市枝江其實(shí)是一個(gè)由嘉然的超能力創(chuàng)造出來的黑洞。這個(gè)假設(shè)相當(dāng)樸素，比如嘉然完全可以通過給時(shí)空中的物質(zhì)場提供一個(gè)足夠大的密度擾動(dòng)，或者通過宇宙相變導(dǎo)致的宇宙弦來產(chǎn)生黑洞?[11] [12]??？傊?，會(huì)者不難。（2）A-SOUL的成員們所處的位置是黑洞的視界附近，這樣可以讓引力效應(yīng)更加顯著，也可以簡化我們之后的計(jì)算。（3）成員們出生之后身高保持不變，這同樣是為了簡化計(jì)算。

圖1給出了我們的嘉然-枝江黑洞模型的更形象的描述。其中，設(shè)嘉然（左）的固有年齡為??，身高固定為??，設(shè)其他成員，如貝拉（右），的固有年齡為??，身高固定為??，枝江黑洞的質(zhì)量設(shè)為??.?眾所周知，嘉然的身高比其他幾位成員要矮許多，因此她的頭部與黑洞視界之間的距離要比其他成員更近。根據(jù)上一節(jié)中給出的鐘慢效應(yīng)公式，離黑洞視界越近的地方時(shí)間流逝速度越慢。所以，嘉然頭部的時(shí)間流逝速度要比其他成員的慢許多。也就是說，假如大家同時(shí)出生，其他幾位成員的頭部經(jīng)歷了20年的時(shí)間，那么嘉然頭部所經(jīng)歷的時(shí)間就會(huì)遠(yuǎn)少于20年。這就是嘉然看起來遠(yuǎn)比其他幾位年齡小的原因。方便起見，接下來如不加特殊說明，“年齡”一詞均指“頭部固有年齡”。

3.2 嘉然的固有年齡

基于圖1所示的模型，從鐘慢效應(yīng)公式出發(fā)很容易推導(dǎo)出嘉然固有年齡的表達(dá)式：我們設(shè)其他成員的身高固定為??米?，年齡設(shè)為??歲?，來看一下嘉然的固有年齡與枝江黑洞的質(zhì)量??，以及自己的身高??的關(guān)系?？梢钥吹剑绻诙吹馁|(zhì)量很小，那么嘉然的固有年齡將與她的身高沒太大關(guān)系，她會(huì)和其他成員一樣都是在20歲左右。然而，如果枝江黑洞的質(zhì)量大于??，大約是太陽質(zhì)量的1/20000，那么嘉然的身高就會(huì)對(duì)她的固有年齡造成非常大的影響。身高越低，則嘉然的固有年齡越小。而當(dāng)枝江黑洞的質(zhì)量差不多大于一個(gè)太陽質(zhì)量時(shí)，嘉然的固有年齡與她的身高的數(shù)學(xué)關(guān)系就會(huì)穩(wěn)定下來，不再隨枝江黑洞的質(zhì)量改變。

3.3 黑洞超大質(zhì)量極限

我們對(duì)前面的表達(dá)式在超大質(zhì)量極限下的“黑洞質(zhì)量無關(guān)性”非常感興趣。這個(gè)結(jié)論也是易于推導(dǎo)的：可見，在超大質(zhì)量極限下，嘉然與其他成員的固有年齡之比正比于她們身高之比的1/2次方。我們將這一結(jié)果呈現(xiàn)在圖3中，可以看到如果嘉然的身高如傳說中那樣只有一米吧?[13]?，那么在我們這個(gè)理論模型中她的頭部固有年齡就只有15歲左右。這非常符合嘉然年齡的實(shí)際觀測值。可見，如果枝江黑洞的質(zhì)量足夠大，且嘉然的身高只有一米甚至更矮，那么引力場中的鐘慢效應(yīng)將會(huì)使嘉然的固有年齡遠(yuǎn)小于其他幾位成員。

四、包含時(shí)變身高的普遍模型

上一節(jié)討論的是toy model，采用了三個(gè)基本假設(shè)?，F(xiàn)在我們把固定身高假設(shè)去掉，考慮一個(gè)更加普遍的模型。也就是說，考慮圖1中成員們的身高是隨各自的固有時(shí)間慢慢長高的（這里的固有時(shí)間依然是指頭部固有時(shí)間），比如設(shè)身高在15歲之前隨時(shí)間線性增長：其中，每位成員的身高增長速率 k?各不相同。我們設(shè)成員們在15歲之后身高停止增長，固定為15歲時(shí)各自的身高 H . 把以上的??代入第二節(jié)的鐘慢效應(yīng)公式可以得到：繼續(xù)考慮的超大質(zhì)量黑洞極限，解這個(gè)方程可以得到：其中?T?為成員現(xiàn)在各自的固有年齡。

由于嘉然的坐標(biāo)時(shí)間??與其他成員的坐標(biāo)時(shí)間??是相等的，那么就可以通過以上的式子去計(jì)算嘉然的固有年齡。我們依然設(shè)其他成員的現(xiàn)在的固有年齡為??歲?，目前的身高為??米?（即其他成員的身高增長率為??厘米/年?），可以計(jì)算出嘉然現(xiàn)在的固有年齡??與她身高的增長率??的關(guān)系為：其中，??.

以上的計(jì)算結(jié)果被展示在了圖4當(dāng)中?？梢钥吹?，如果實(shí)際觀測將嘉然的固有年齡限定在15歲以下，那么在我們這個(gè)線性增高模型當(dāng)中，嘉然每年的身高增長就不能超過2.4厘米。這意味著嘉然現(xiàn)在的身高被限定在了??米。還可以看到，在身高增長速率趨于0的極限下，嘉然的最低固有年齡可以低至13歲，這就是我們這個(gè)模型當(dāng)中嘉然年齡的下限。

五、討論與結(jié)論

最后進(jìn)行一些總結(jié)和討論。我們基于廣義相對(duì)論的鐘慢效應(yīng)，假設(shè)枝江是嘉然用超能力制造出來的質(zhì)量足夠大的黑洞，推導(dǎo)計(jì)算了嘉然的實(shí)際固有年齡。在固定身高的條件下，如果枝江黑洞的質(zhì)量足夠大，那么當(dāng)嘉然的身高低于1米時(shí)，她的頭部固有年齡將會(huì)小于15歲。而在身高線性增長的條件下，同樣考慮黑洞超大質(zhì)量極限，如果嘉然的身高增長速率低于2.4厘米/年，那么她的頭部固有年齡也會(huì)小于15歲。這表明我們的模型非常成功地解釋了為什么嘉然看上去遠(yuǎn)比其他幾位A-SOUL成員年輕。也就是說，官方給出的嘉然的年齡并沒有考慮廣義相對(duì)論的修正，所以才和嘉然自身的固有年齡相差巨大。

也許你會(huì)問，在這個(gè)模型當(dāng)中，嘉然的腳的年齡將會(huì)遠(yuǎn)比其頭部年齡要小，這合理嗎？這當(dāng)然合理啊，不然為什么gn天天說嘉然的jio小小的呢？顯然，這也是一種廣義相對(duì)論效應(yīng)?？傊?，這個(gè)理論模型是目前唯一一個(gè)能夠解釋 Diana Age Tension 的模型，它也許不成熟，但卻是開創(chuàng)性的。感興趣的讀者可以繼續(xù)follow完善這項(xiàng)研究，A-SOUL世界中也還有許多其他的有趣的物理問題等待我們?nèi)ヌ剿?，讓我們繼續(xù)加油吧。

致謝

感謝中國科學(xué)院大學(xué)每個(gè)月給我博士生補(bǔ)助，客觀上為這項(xiàng)研究提供了Fund. 感謝阿b的小伙伴們在我視頻的評(píng)論區(qū)參與討論，為這項(xiàng)研究提供了一定的思路。感謝阿z的小伙伴們長期以來對(duì)我的支持。

參考文獻(xiàn)

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